 2. Extending the Pascal m-simplex

We will argue in this section that the rule for defining trinomial coefficients

 æ ç è n r     s     t ö ÷ ø
where n is a negative integer, should be as follows:

ì
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
î
æ
ç
è
 n
 r
 s
 t
ö
÷
ø
= 0,     unless
r ³ 0,     s ³ 0,     when  æ
ç
è
 n
 r
 s
 t
ö
÷
ø
= (-1)n-t æ
ç
è
 -t-1
 r
 s
 -n-1
ö
÷
ø
or    r ³ 0,     t ³ 0,     when  æ
ç
è
 n
 r
 s
 t
ö
÷
ø
= (-1)n-s æ
ç
è
 -s-1
 r
 -n-1
 t
ö
÷
ø
or     s ³ 0,     t ³ 0,     when  æ
ç
è
 n
 r
 s
 t
ö
÷
ø
= (-1)n-r æ
ç
è
 -r-1
 -n-1
 s
 t
ö
÷
ø
(2.1)
(a+b+c)n
å
r,s ³ 0
æ
ç
è
 n
 r
 s
 t
ö
÷
ø
arbsct       (2.2)
or
(a+b+c)n
å
r,t ³ 0
æ
ç
è
 n
 r
 s
 t
ö
÷
ø
arbsct       (2.3)
or
(a+b+c)n
å
s,t ³ 0
æ
ç
è
 n
 r
 s
 t
ö
÷
ø
arbsct       (2.4)

where the coefficients

 æ ç è n r     s     t ö ÷ ø
are given by the appropriate formulae in
(2.1). We will be content to show that the formula (2.2) yields a convergent power series in the open subset of R3 given by |a+b|<c, |a|<|c|, |b|<|c|. For, if |a+b|<c, then, by the rule given in [3, 4],
(a+b+c)n
å
u ³ 0,  u+t = n
æ
ç
è
 n
 u
 t
ö
÷
ø
(a+b)uct,

where

æ
ç
è
 n
 u
 t
ö
÷
ø
= (-1)u æ
ç
è
 -t-1
 u
 -n-1
ö
÷
ø
.

Now, since |a| < |c|, |b| < |c|, we may expand (a+b)u by the binomial theorem and obtain a convergent double power series

(a+b+c)n
å
r,s ³ 0,   r+s = u,   u+t = n
æ
ç
è
 u
 r
 s
ö
÷
ø
æ
ç
è
 n
 u
 t
ö
÷
ø
arbsct,
and
æ
ç
è
 u
 r
 s
ö
÷
ø
æ
ç
è
 n
 u
 t
ö
÷
ø
= (-1)u æ
ç
è
 u
 r
 s
ö
÷
ø
æ
ç
è
 -t-1
 u
 -n-1
ö
÷
ø
= (-1)n-t æ
ç
è
 -t-1
 r
 s
 -n-1
ö
÷
ø
.
Thus we obtain formula (2.2).

Obviously the rules (2.1) extend to m-multinomial coefficients. Thus, without going into details, we obtain the rule:

Let n be a negative integer. Then, with
 å i ki = n,
æ
ç
è
 n
 k1
 k2
 ...
 km
ö
÷
ø
= 0,

unless exactly one of k1, k2,..., km is negative. If ki is negative, then

æ
ç
è
 n
 k1
 k2
 ...
 km
ö
÷
ø
= (-1)n-ki
æ
ç
è
 -ki-1
 k1
 ...
 ki-1
 (-n-1)
 ki+1
 ...
 km
ö
÷
ø
.       (2.5)

It is interesting to remark that (2.5) generalizes the rule for defining

 æ ç è n r     s ö ÷ ø
in the blade n < 0, r ³ 0, s < 0 of the Pascal Hexagon, or Windmill (see [3, 4], namely;
æ
ç
è
 n
 r
 s
ö
÷
ø
= (-1)r æ
ç
è
 -s-1
 r
 -n-1
ö
÷
ø
.       (2.6)

However, to construct the generalization we must replace (-1)r in (2.6) by the equivalent (-1)n-s.